*** Désintégration d'un élément radioactif

Un élément radioactif est utilisé en médecine pour traiter certains cancers. Au début du traitement, le patient doit ingérer un comprimé contenant 0,01 mg de cet élément.
Chaque jour, une partie des noyaux de cet élément se désintègre, réduisant ainsi sa masse présente dans l’organisme du patient. On considère que la masse de cet élément diminue chaque jour de \(8~\%\).
On note \(u_n\) la masse (en mg) de l’élément radioactif restant dans le corps du patient \(n\) jours après la prise du comprimé.

1. Donner les valeurs de \(u_0, u_1\) et \(u_4\).
2. À l'aide du fichier de géométrie dynamique suivant, représenter graphiquement les dix premiers termes de la suite \((u_n)\).
Si l'on préfère le faire à la main, on conseille de prendre comme échelle pour l'axe des ordonnées \(1\) carreau (ou \(1\) cm) = \(0{,}001\) mg.

3. Déterminer au bout de combien de jours la masse de l'élément radioactif présente dans l'organisme du patient devient inférieure à \(0{,}003\) mg.
4. On appelle demi-vie le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux se désintègrent.
    a. Tracer dans le même fichier de géométrie dynamique la droite d'équation \(y=d\) où \(d\) représente la moitié de la quantité initiale d'élément radioactif.
    b. Retrouver ainsi graphiquement la demi-vie de cet élément. Vérifier à la calculatrice.